Satz von Bayes

Illuschdradzjon vum Sadz vum Bayes dursch Iwwalachachung vunde baide dem zugrundlischende Endschaidungsbääm bzw. Boomdiagromm.

De Sadz vum Bayes (a Forml vum Bayes odda Bayes-Theorem) bschraibd die B'rechnung vun b'dingde Wahschoinlischkaide unn isch vum englische Mademadiga Thomas Bayes erschdmols fan Schbezialfall inde 1763 noch soim Dod vaeffendlischde Abhondlung An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances bschriwwe worre.

De Sadz

Midde B'griff

$P(A\mid B)$ isch die (b'dingd) Wahschoinlischkaid vun Eraignisse $A$ unnade B'dingung, dass des Eraigniss $B$ oig'drede isch.

$P(B\mid A)$ sinn die (bedingte) Wahschoinlischkaide vum Eraigniss $B$ unnade B'dingung, dass des Eraigniss$A$ oig'drede isch.

$P(A)$ isch die A-priori-Wahschoinlischkaid vum Eraignis $A$.

$P(B)$ isch die A-priori-Wahschoinlischkaid vum Eraigniss $B$.

gild fa zwee Eraigniss $A$ unn $B$ midd $P(B)>0$, dass die Wahschoinlischkaid vun $A$ unnade B'dingung, dass $B$ oig'drede isch, alla $P(A\mid B)$, durch die Wahschoinlischkaid vun $B$ unnade B'dingung, dass $A$ oig'drede isch, midd

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$.

ausreschne konn.

Des komma uff viele Eraigniss $A_i$, $i=1,\dots ,n$ va'allg'moinare. Wonn die Eraignissmeng $\mathrm{\Omega }=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$ vundene viele Eraigniss $A_i$ in disjungde Eraigniss $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing },i\ne j$ zaleschd werre konn (alla uff gud daidsch kennen kä zwee Eraigniss $A_i,A_j$ g'moinsom oidrede) uns weschem Sadz vunde totale Wahschoinlischkaid $P(B)=\sum _{j=1}^{N}P(B\mid A_j)\cdot P(A_j)$ gild, donn komma die A-posteriori-Wahschoinlischkaide $P(A_i\mid B)$ midd

$P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)\cdot P(A_i)}{P(B)}=\frac{P(B\mid A_i)\cdot P(A_i)}{\sum _{j=1}^{N}P(B\mid A_j)\cdot P(A_j)}$.

ausreschne.

Owendung

Middm Sadz vum Bayes komma ausm b'konnde Werd vun $P(B\mid A)$ de Werd vun $P(A\mid B)$ ausreschne, womma die A-ariori-Wahschoinlischkaide $P(A)$ unn $P(B)$ kennd. Äna vunde haifigschde Deng'gfehla, de Prävalenzfehla, isches diregt vun $P(A\mid B)$ uff $P(B\mid A)$ zu schliesse, alla die A-ariori-Wahschoinlischkaide $P(A)$ unn $P(B)$ nedd zu b'riggsischdische. Ausde Forml komma awwa seje, dass des bloß donn geje ded, wonn $P(A)$ unn $P(B)$ zumindeschd u'gfehr glaisch groß wern unmase donn inde Forml rauskerze kennd.

Gugschd a uff

• Prävalenzfehla