D'Tegschd vun Satz von Bayes oagugge

{{Dialegd|Uff=Speyerisch}}{{DISPLAYTITLE:Sadz vum Bayes}}
[[Datei:Bayes' Theorem 2D.svg|mini|Illuschdradzjon vum Sadz vum Bayes dursch Iwwalachachung vunde baide dem zugrundlischende Endschaidungsbääm bzw. Boomdiagromm.]]
De '''Sadz vum Bayes''' (a ''Forml vum Bayes'' odda ''Bayes-Theorem'') bschraibd die B'rechnung vun [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|b'dingde Wahschoinlischkaide]] unn isch vum [[England|englische]] [[Mathematik|Mademadiga]] [[Thomas Bayes]] erschdmols fan Schbezialfall inde 1763 [[Posthum|noch soim Dod]] vaeffendlischde Abhondlung ''An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances''<ref>Bayes, Price, [https://royalsocietypublishing.org/doi/epdf/10.1098/rstl.1763.0053 An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances], Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1763, 53, Seiten 370–418, doi: 10.1098/rstl.1763.0053</ref> bschriwwe worre.

== De Sadz ==
Midde B'griff

: <math>P(A\mid B)</math> isch die [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|(b'dingd) Wahschoinlischkaid]] vun [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Eraignisse]] <math>A</math> unnade B'dingung, dass des Eraigniss <math>B</math> oig'drede isch.
: <math>P(B\mid A)</math> sinn die (bedingte) Wahschoinlischkaide vum Eraigniss <math>B</math> unnade B'dingung, dass des Eraigniss<math>A</math> oig'drede isch.
: <math>P(A)</math> isch die [[A-priori-Wahrscheinlischkeit|A-priori-Wahschoinlischkaid]] vum Eraignis <math>A</math>.
: <math>P(B)</math> isch die A-priori-Wahschoinlischkaid vum Eraigniss <math>B</math>.

gild fa zwee Eraigniss <math>A</math> unn <math>B</math> midd <math>P(B) > 0</math>, dass die [[Wahrscheinlichkeit|Wahschoinlischkaid]] vun <math>A</math> unnade B'dingung, dass <math>B</math> oig'drede isch, alla <math>P(A\mid B)</math>, durch die Wahschoinlischkaid vun <math>B</math> unnade B'dingung, dass <math>A</math> oig'drede isch, midd

: <math>P(A\mid B) \; = \; \frac {P(B\mid A) \cdot P(A)} {P(B)}</math>.

ausreschne konn.

Des komma uff viele Eraigniss <math>A_i</math>, <math>i=1, \dotsc ,n</math> va'allg'moinare. Wonn die [[Ergebnismenge|Eraignissmeng]] <math>\Omega = \bigcup_{i = 1}^n A_i</math> vundene viele Eraigniss <math>A_i</math> in [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)#Schniddmeng unn Disjungdhaid|disjungde Eraigniss]] <math>A_i \cap A_j = \emptyset, i \neq j</math> [[Partition (Mengenlehre)|zaleschd]] werre konn (alla uff gud daidsch kennen kä zwee Eraigniss <math>A_i, A_j</math> g'moinsom oidrede) uns weschem [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Sadz vunde totale Wahschoinlischkaid|Sadz vunde totale Wahschoinlischkaid]] <math>P(B) = \sum_{j=1} ^{N} P\left(B\mid A_j\right) \cdot P(A_j)</math> gild, donn komma die [[A-posteriori-Wahrscheinlichkeit|A-posteriori-Wahschoinlischkaide]] <math>P(A_i \mid  B)</math> midd

: <math> P(A_i \mid  B) \; = \; \frac{P(B\mid A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)} \; = \; \frac{P\left(B\mid A_i\right)\cdot P(A_i)}{\sum_{j=1} ^{N} P\left(B\mid A_j\right) \cdot P(A_j)} </math>.

ausreschne.

== Owendung ==
Middm Sadz vum Bayes komma ausm b'konnde Werd vun <math>P(B \mid A)</math> de Werd vun <math>P(A \mid B)</math> ausreschne, womma die A-ariori-Wahschoinlischkaide <math>P(A)</math> unn <math>P(B)</math> kennd. Äna vunde ''haifigschde'' [[Kognitive_Verzerrung|Deng'gfehla]], de [[Prävalenzfehler|Prävalenzfehla]], isches diregt vun <math>P(A \mid B)</math> uff <math>P(B \mid A)</math> zu schliesse, alla die A-ariori-Wahschoinlischkaide <math>P(A)</math> unn <math>P(B)</math> nedd zu b'riggsischdische. Ausde Forml komma awwa seje, dass des bloß donn geje ded, wonn <math>P(A)</math> unn <math>P(B)</math> zumindeschd u'gfehr glaisch groß wern unmase donn inde Forml rauskerze kennd.

== Gugschd a uff ==
* [[Prävalenzfehler|Prävalenzfehla]]

== Vawais ==
<references />

[[Sachgrubb:Wahrscheinlichkeit]]